FUNGSI (FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT)

Saturday, August 13, 2016

Kembali lagi bersama saya di blog tetamatika, tetamatika memberikan berbagai administrasi guru, materi ajar, media pembelajaran yang berkaitan dengan pelajaran matematika. Kali ini saya akan membahas tentang materi Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Kelas X Semester 1.

FUNGSI LINIER

Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsurpembentuk fungsi adalah variabel, koefisien, dan konstanta.

Variabel adalah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas :variabel yang menjelaskan variabel lainnya. Adapun Variabel terikat adalah variabel yang diterangkan oleh variabel bebas.

Koefisien adalah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan.
Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apapun.

1). Pengertian fungsi linier
Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi
yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut
dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.:

f : x → mx + c atau

f(x) = mx + c atau

y = mx + c

m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan
c adalah konstanta

2). Melukis grafik fungsi linier
Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier
a Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0)
b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1)
c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus

Persamaan linier juga dapat ditulis ditulis dengan simbol y = ax + b (ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar)

Jika b bernilai positif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan atas
Jika b bernilai negatif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawah
Jika b bernilai nol : digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x

Gambar Fungsi Linear
Apabila b bernilai negatif : Y = 10 - 2X maka kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah

Apabila b bernilai positif : Y = 2 + 2X maka kurva bergerak dari kiri bawah ke kanan atas

3). Gradien dan persamaan garis lurus
a). Garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien m:
m = y1-y2 atau m = y2-y1
x1-x2 x2-x1

b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah:
y-y1 = x-x1
y2-y1 x2-x1

c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A(x1, y1) adalah:
y = m (x – x1 ) + y1

4). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl)
@ Persamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = - a/b
@ Persamaan garis lurus : y = ax + b maka m = a
@ Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = 0
@ Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradient

5). Titik potong dua buah garis
Menentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan
penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi,
metode substitusi maupun metode grafik

6). Hubungan dua buah garis
Dua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak lurus jika m1 x m2 = -1

Berimpit
Dua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yang lain. Dengan demikian , garis

akan berimpit dengan garis

, jika

Sejajar
Dua garis lurus akan sejajar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garis

akan sejajar dengan garis

, jika

Berpotongan
Dua garis lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garis

akan berpotongan dengan garis

, jika

Tegak lurus
Dua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian , garis

akan tegak lurus dengan garis

, jika atau

PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat merupakan bentuk persamaan yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Bentuk umumnya adalah $y = ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ , a, b, dan c adalah koefisien dan x merupakan variabelnya.

Contoh: $x^2 + 5x + 6$ , $2x^2 - 3x + 4$ , dan sebagainya.

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar maksudnya adalah nilai $x$ yang membuat $ax^2 + bx + c$ hasilnya sama dengan 0. Sebagai contoh, jika $x=k$ membuat $ak^2 + bk + c =0$ , maka $k$ disebut sebagai akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ .

Untuk menentukan akar-akar, ada tiga metode yang biasa digunakan, yaitu metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan metode rumus abc. Namun metode melengkapkan kuadrat sempurna jarang atau cukup sulit untuk digunakan dalam menentukan akar-akar, sehingga tidak akan dibahas di pembahasan ini.

Metode Pemfaktoran
Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ diubah menjadi $a(x - x_1)(x-x_2)=0$ , sehingga akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$ .

Misalkan kita ingin memfaktorkan $ax^2 + bx + c = 0$ .

Cara memfaktorkannya adalah:

Pertama, carilah dua bilangan, misalnya $p$ dan $q$ , sehingga jika dijumlahkan, hasilnya adalah $b$ , sedangkan jika dikalikan, hasilnya adalah $ac$ . Dengan kata lain, $p + q = b$ dan $p \cdot q = a \cdot c$ .

Jika $a = 1$ , maka bentuk pemfaktorannya adalah $(x+p)(x+q)=0$ , sehingga akar-akarnya adalah $x+p = 0 \Longrightarrow x = -p$ atau $x+q = 0 \Longrightarrow x = -q$ .

Jika $a \neq 1$ , maka bentuk pemfaktorannya adalah $a (x + \frac{p}{a})(x + \frac{q}{a}$ , sehingga akar-akarnya adalah $x+ \frac{p}{a} = 0 \Longrightarrow x = - \frac{p}{a}$ atau $x+ \frac{q}{a} = 0 \Longrightarrow x = - \frac{q}{a}$ .

Contoh:
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat (a) $x^2 - 5x + 6 = 0$ dan (b) $6x^2-x-15=0$ .

Jawab:

(a):
$a = 1, b = -5$ dan $c = 6$ . Cari dua bilangan, $p$ dan $q$ , sehingga $p + q = -5$ dan $p \cdot q = 6$ .

Kedua bilangan tersebut adalah $p=-3$ dan $q = -2$ , karena $-3 + (-2) = -5$ dan $-3 \cdot -2 = 6$ .

Maka pemfaktorannya adalah $(x + (-3))(x + (-2)) = 0$ atau $(x-3)(x-2)=0$ ,

sehingga akar-akarnya adalah $x - 3 = 0 \Longrightarrow x_1 = 3$ atau $x - 2 = 0 \Longrightarrow x_2 = 2$ .

(b):
Sama dengan (a), cari $p$ dan $q$ sehingga $p+q = -1$ dan $p \cdot q = a \cdot c = -90$ .

Maka didapat $p = -10$ dan $q = 9$ .

Maka pemfaktorannya adalah $6(x - \frac{10}{6})(x + \frac{9}{6}$ , sehingga akar-akarnya adalah $x - \frac{10}{6} = 0 \Longrightarrow x_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ atau $x + \frac{9}{6} = 0 \Longrightarrow x_2 = - \frac{9}{6} = - \frac{3}{2}$ .

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x_1 = \frac{5}{3}$ atau $x_2 = - \frac{3}{2}$ .

Metode Rumus ABC
Tidak semua bentuk persamaan kuadrat dapat difaktorkan. Sebagai contoh, kita tidak dapat memfaktorkan bentuk $x^2 - 3x + 1 = 0$ di mana tidak ada bilangan bulat $p$ dan $q$ yang memenuhi $p+q = -3$ dan $p \cdot q = 1$ .

Hal ini karena akar-akar persamaan tersebut bukanlah berbentuk bilangan bulat atau bilangan rasional, tetapi bilangan irasional.

Untuk menentukan akar-akarnya, kita dapat menggunakan rumus abc berikut:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

Jadi, akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ dan $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

$b^2 - 4ac$ di atas disebut dengan diskriminan (D).

Contoh:

Tentukanlah akar-akar dari $x^2 - 3x + 1 = 0$ .

Jawab:
$a = 1, b = -3$ , dan $c = 1$ , sehinga dengan menerapkannya pada rumus abc di atas, kita dapat: $x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$ .

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ .

Berarti akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ dan $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Pada contoh-contoh di atas, kita melihat terdapat dua buah akar-akarnya, dan keduanya merupakan bilangan riil. Namun ada kalanya suatu persamaan kuadrat hanya mempunyai satu akar riil (akar-akarnya kembar), atau bahkan tidak mempunyai akar-akar riil.

Naahh, untuk mengetahui apakah suatu persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil, satu akar riil (kembar), atau tidak mempunyai akar-akar riil, kita dapat melihat Diskriminan nya (D), yaitu $D = b^2 - 4 ac$

Jika $D > 0$ , maka kedua akarnya riil dan berlainan .

Jika $D = 0$ , maka kedua akar-nya kembar (satu akar riil).

Jika $D < 0$ , maka kedua akarnya tidak riil (imajiner).

Contoh:
Jika diketahui bahwa $4x^2 - 20x + p = 0$ mempunyai satu akar riil, tentukanlah nilai $p$ .

Jawab:
Karena hanya mempunyai satu akar riil, berarti $D = 0$ .
Dengan demikian, $D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot p = 0$ . $\Longleftrightarrow 400 - 16p = 0$ .

$\Longleftrightarrow 16p = 400 \Longrightarrow p = 25$ .

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 25$ .

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ , maka berlaku hubungan:

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$ .

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .

Contoh:
Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar dari $3x^2 + 15x + 10 = 0$ , tentukanlah nilai dari $x_1^2 + x_2^2$ .

Jawab:
Persamaan kuadrat di atas tidak bisa difaktorkan, jadi akar-akarnya berbentuk bilangan irasional, yang mana menjadi sulit bagi kita untuk menghitung nilai $x_1^2 + x_2^2$ .

Namun, kita tidak perlu menghitung satu-satu berapa nilai dari $x_1$ dan $x_2$ , tapi bisa menghitung langsung nilai dari $x_1^2 + x_2^2$ , dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar.

Perhatikan bahwa $x_1^2+x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ .

Dari rumus di atas kita dapat: $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-15}{3} = -5$ dan $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{10}{3}$

Dengan demikian, $x_1^2+x_2^2 = (-5)^2 - 2 \cdot \frac{10}{3}$ . $\Longleftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 25 - \frac{20}{3} = 18 \frac{1}{3}$ .

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Kita dapat menyusun sebuah persamaan kuadrat baru dari informasi akar-akarnya. Jika akar-akarnya adalah $p$ dan $q$ , maka persamaan kuadrat barunya adalah:

$x^2 - (p+q)x + pq = 0$ .

Contoh:

Contoh: Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 5 adalah $x^2 - (3+5)x + 3 \cdot 5 = 0$ . $\Longleftrightarrow x^2 - 8x + 5 = 0$

FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.

Bentuk umumnya adalah: $f(x) = ax^2 + bx + c$ , dengan $a, b, c$ suatu bilangan real dan $a \neq 0$ .

Contoh: $f(x) = 3x^2 + 5x + 7$ .

Dengan demikian, $f(0) = 3 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 + 7 = 7$ , $f(4) = 3 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 + 7 = 75$ , dll.

Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat

Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola nya terbuka ke atas jika $a>0$ dan terbuka ke bawah jika $a<0$ .

Berikut ini langkah-langkah dalam menggambarkan grafik/kurva nya:

Pertama, tentukan titik potong $y = f(x) = ax^2+bx+c$ terhadap sumbu $X$ , yaitu nilai $x$ saat $y=0$ . Dengan demikian, nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ .
Kemudian, tentukan titik potong terhadap sumbu $Y$ , yaitu nilai $y$ saat $x=0$ .
Setelah itu, tentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri merupakan garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu $x$ dapat dihitung dengan menggunakan rumus: $x = \frac{-b}{2a}$ atau $x = \frac{x_1+x_2}{2}$ .
Terakhir, tentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak merupakan titik di mana nilai $y = f(x)$ mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola adalah:

$(\frac{-b}{2a}, \frac{D}{-4a})$ .

Di mana D adalah diskriminan, yaitu $D = b^2 - 4ac$ .

Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola.

Agar parabolanya terlihat lebih halus (smooth), kita dapat menghitung/menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi $y=f(x)$ .

Berikut ini merupakan contoh grafik fungsi kuadrat $y = f(x) = x^2-5x+4$ :

Contoh Soal:

Jika $y = f(x) = 2x^2 - 11x + p$ mempunyai nilai minimum $- \frac{1}{8}$ , tentukanlah nilai $p$ .

Jawab:
Nilai minimum tersebut merupakan titik puncak $y= f(x)$ .

Dengan demikian, dengan menggunakan rumus titik puncak kita dapat:

Titik puncak = $\frac{b^2-4ac}{-4a} = \frac{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot p}{-4 \cdot 2}$ . $\Longleftrightarrow \frac{121-8p}{-8} = - \frac{1}{8}$ $\Longleftrightarrow 121-8p=1 \longrightarrow 8p = 120$ .

Dengan demikian, $p = \frac{120}{8} = 15$ .

Hubungan Diskriminan Grafik Fungsi Kuadrat

Jika pada persamaan kuadrat nilai diskriminan dapat kita gunakan untuk mengetahui apakah akar-akarnya riil, kembar, atau tidak mempunyai akar-akar riil, pada fungsi kuadrat kita dapat menggunakan nilai diskriminan untuk mengetahui apakah grafiknya memotong sumbu $x$ di dua titik yang berlainan, menyinggung sumbu $x$ , atau tidak menyinggung ataupun memotong sumbu $x$ .

Berikut ini sifat-sifatnya:

Jika $D$ merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ , maka:

Jika $D > 0$ , maka grafik $y = f(x)$ memotong sumbu $x$ pada dua titik yang berbeda

Jika $D = 0$ , maka grafik $y = f(x)$ menyinggung sumbu x pada satu titik.

Jika $D < 0$ , maka grafik $y = f(x)$ tidak memotong sumbu $x$ .

Kembali ke Bahan Ajar Mata Pelajaran Matematika SMA/SMK/MA Kurikulum 2013 Revisi

Tag : Bahan Ajar Matematika, Buku Kurikulum 2013, Kelas X, Kurikulum 2013 Revisi

FUNGSI (FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT)

Previous

Next

0 Komentar untuk "FUNGSI (FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT)"