Menyajikan Data Ukuran Menjadi Data Statistik Deskriptif

Oleh teguhpanjibaru

Wednesday, October 26, 2016

Bagikan :

Tweet

Kembali lagi bersama saya di blog tetamatika, tetamatika memberikan berbagai administrasi guru, materi ajar, media pembelajaran yang berkaitan dengan pelajaran matematika. Akan tetapi kali ini saya akan membahas tentang Menyajikan data ukuran menjadi data statistik deskriptif yang saya dapatkan saat mengikuti guru pembelajar.

1 Statistik Lima Serangkai

Suatu data kuantitatif yang mencantumkan nilai-nilai x₁, x₂, x₃,....x_n, memiliki beberapa nilai tertentu yang dapat menentukan kecenderungan pemusatan data, yaitu :

1)   statistik ekstrim

• a)    statistik minimum, yaitu data yang nilainya terkecil dari seluruh nilai yang tertera.
• b)   statistik maksimum, yaitu data yang nilainya terbesar dari seluruh nilai yang tertera.

2)   kuartil-kuartil

Kuartil-kuartil, yaitu data yang letaknya pada batas-batas seketan-seketan sebesar 25% dari seluruh data yang diamati.

      Terdapat tiga buah kuartil, yaitu: 

• a) median atau kuartil kedua (Q₂) adalah suatu nilai yang lebih dari 50% nilai pengamatan terkecil dan kurang dari 50% nilai pengamatan terbesar, setelah data nilai itu diurutkan dari nilai terkecil ke nilai terbesar.
• b) kuartil pertama (Q₁) adalah median dari semua nilai pengamatan yang kurang dari Q₂.
• c) kuartil ketiga (Q₃) adalah median dari semua nilai pengamatan yang lebih dari Q₂.

Kelima nilai data tersebut dinamakan statistik lima serangkai.

Bila kita gambarkan kedudukannya (setelah nilai diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar), sebagai berikut:

Urutan menurut besarnya nilai masing-masing adalah statistik minimum Q₁ (kuartil pertama), Q₂ (kuartil kedua), Q₃ (kuartil ketiga), dan statistik maksimum.

Sebaiknya diberikan dulu rumus kuartil seperti 

2 Jangkauan Data, Jangkauan Antarkuartil, Langkah, Pagar Dalam dan Pagar Luar

Perhatikan kembali contoh 1.1 (setelah data diurutkan)

 

Jangkauan (J) adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum, pada data di atas jangkauan = 10-2 = 8

Jangkauan antarkuartil (JK) adalah selisih antara nilai kuartil atas (Q₃) dengan kuartil bawah (Q1).

Pada data diatas, jangkauan antarkuartil = Q₃ - Q₁ = 8 - 4 = 4

Jangkauan Semi interkuartil atau disebut juga simpangan kuartil (Q_d) adalah setengah dari Jangkauan Antarkuartil . Pada data di atas, simpangan kuartil 

Nilai statistik jangkauan (J) dan jangkauan antarkuartil (JK) dapat dipakain untuk menemukan gambaran tentang penyebaran data dengan cepat.

Didefinisikan bahwa, Satu langkah (L) sebagai satu-setengah kali panjang jangkauan antarkuartil (JK), ditulis secara matematis 

Untuk data di atas 

Nilai yang letaknya satu langkah di bawah nilai Q₁ (kuartil bawah) dinamakan Pagar Dalam (PD), sedangkan nilai yang letaknya satu langkah di atas Q₃ (kuartil atas) dinamakan pagar luar (PL).

Untuk data diatas: 

P.D = Q₁ – L= 4 – 6= -2

P.L= Q₃+L= 8+6 = 14

Semua data yang nilainya kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar disebut pencilan. Adanya suatu pencilan merupakan petunjuk bahwa data itu perlu diamati lebih lanjut, artinya ada kemungkinan terjadi salah catat atau salah ukur, atau ada kemungkinan pula data itu berasal dari kasus yang menyimpang sehingga perlu diselidiki lebih lanjut dan sebaliknya semua data yang terletak dalam selang yang batas-batasnya pagar dalam dan pagar luar dapat dianggap sebagai data masih tergolong sama dengan median sebagai pemusatannya.

3 Ukuran Kecenderungan Memusat (Ukuran Pemusatan)

Nilai median (Q_­2) adalah suatu ukuran yang menggambarkan pemusatan data yang telah diukur. Misalnya median 6,5 artinya 50% data bernilai kurang dari 6,5 dan 50% data bernilai lebih dari 6,5. Artinya nilai 6,5 terletak di tengah-tengah (pusat) semua nilai itu. Nilai-nilai pemusatan lain adalah modus, yaitu nilai yang paling banyak muncul, dan rata-rata. Ada rata-rata hitung, rata-rata ukur (rata-rata geometris), dan rata-rata harmonis.

Untuk ukuran-ukuran yang masing-masing mempunyai frekuensi (banyaknya), misalnya x₁ ada f₁ ukuran, x₂ ada f₂ ukuran, x₃ ada f₃ ukuran, dan seterusnya, maka 

Contoh 1.2

Rata-rata hitung dari 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 10 adalah: 

4 Rata-rata Hitung, Rata-rata Geometris dan Rata-rata Harmonis

1)   Rata-rata Hitung

Jika nila-nilai data kuantitatif kita nyatakan dengan x­₁, x­₂, x­₃,...... x­_n (terdapat n buah ukuran), maka rata-rata hitungnya (x¯¯¯) adalah jumlah semua ukuran dibagi dengan banyaknya ukuran atau di rumuskan dengan: 

Contoh 1.13

Dari data 3, 4, 5, 6, 7, 8 (n=6). Rata-rata hitung 

Jika x_n terdapat sebanyak f_n ukuran. 

Contoh 1.14

x1	f1	x1. f1
3 4 5 6 7 8	2 3 6 8 6 5	6 12 30 48 42 40
	30	178

2)   Rata-rata Geometris (Rata-rata Ukur)

Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap, maka rata-rata geometris lebih baik dipakai daripada rata-rata hitung.

 Untuk data: x­₁, x­₂, x­₃,...... x­_{n ,} 

rata-rata geometris:  

Contoh 1.15

x­₁= 2        x­₂= 4       x­₃= 8

x_g =  

2x4x8−−−−−√3

 = 4

Untuk bilangan-bilangan bernilai besar, lebih baik digunakan logaritma, yaitu: 

x_g = = (x₁.x₂. ... .x_n)^1/n 

‹═›  log x_g = [Σ(x_i)]/n

Untuk data yang telah disusun daftar distribusi frekuensi, dapat dipakai rumus: 

xi = titik tengah kelas  fi = frekuensi tiap kelas

Contoh 1.16 

Tabel 2.1.7

Data nilai 40 orang siswa

Nilai	fi	xi	log xi	fi log xi	fi xi
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	5 3 5 6 9 8 4	35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5	1,5502 1,6580 1,7443 1,8162 1,8779 1,9320 1,9800	7,7510 4,9740 8,7215 10,8972 16,9011 15,4560 7,9200	177,5 136,5 227,5 393,0 697,5 684,0 382,0
	40			72,6208	2730

log x_g = 72,6208/40 = 1,8052 

x_g = 63,8 

Nilai ujian tersebut mempunyai rata-rata geometris 63,8 sedangkan rata-rata hitungnya:

        =x¯¯¯ = 2730/40 = 68,25 

3)        Rata-rata Harmonis

Rata-rata harmonis untuk (x_h) data x­₁, x­₂, x­₃,...... x­_n ditentukan oleh

        xh = n/[Σ(1/x_i)]   

Contoh 1.17

Rata-rata harmonis untuk kumpulan data 2, 3, 5, 6, 6, 8, 9 (n=7) adalah: 

xh = 7/[1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/6 + 1/8 + 1/9] = 7/1,603 = 4,368 

Contoh 1.18

Si A berpergian pulang pergi. Waktu pergi ia naik kendaraan dengan kecepatan 50 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 30 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?

Penyelesaian

x₁ = 50 , x₂ = 30, n = 2 

Rata-rata harmonis xh = 2/[1/50 + 1/30] = 37,5 

Jadi, rata-rata kecepatan si A pulang pergi = 37,5 km/jam

Keterangan: jika jawabannya 1/2[50+30] = 40 km/jam adalah salah

Ambil misalnya jarak pergi/pulang = 150 km, maka waktu pergi 150/50 jam = 3 jam,

dan waktu pulang = 150/30 jam = 5 jam. 

Kecepatan rata-rata = (2x150)/[33+5] = 300/8 km/jam = 37,5 km/jam. 

Hal ini tiada lain adalah rata-rata harmonis. 

Untuk data dalam distribusi frekuensi, maka rata-rata harmonis

x1 = titik tengah tiap kelas fi = frekuensi tiap kelas

Contoh 1.19

Perhatikan Tabel berikut:

Nilai	fi	xi	fi/xi
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	5 3 5 6 9 8 4	35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5	0,1408 0,0659 0,0901 0,0916 0,1192 0.0936 0,0419
	40		0,6431

x_h = 40/(0,6431) = 62,19

Dari hasil sebelumnya, untuk data tersebut: 

x_g = 63,8 

x¯¯¯ = 68,25 

x_h = 62,19 

ternyata x_h g < x|

Secara umum Secara umum berlaku:   x_h ≤ x_g ≤ x|

5 Menentukan Rata-rata Hitung dengan Menggunakan Rata-rata Sementara

Untuk data tunggal kita ambil contoh 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10 (n=12)

Tentukan rata-ratanya dengan menggunakan rata-rata sementara (x_s=6) dan x_i-x_s = d    (d = simpangan)

Nilai	(xs=6), Simpangan (di)
4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 9 10	-2 -2 -1 -1 -1 0 0 +1 +1 +2 +3 +4
	+4

Rata-rata = rata-rata sementara + rata-rata simpangan

x¯¯¯ =  x_s + [Σd_i]/n =  6 + 4/12 

=  6+0,333 = 6,333

Jika kita hitung secara langsung: 

x¯¯¯ = [2.4 + 3.5 + 2.6 + 2.7 + 8 + 9 + 10] = 76/12 = 6,333

Untuk data yang tersusun dalam daftar seperti pada contoh yang lalu, sebagai berikut: 

Nilai	fi	xi	xs =75,5	fi xi
			di
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	5 3 5 6 9 8 4	35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5	-40 -30 -20 -10 0 10 20	-200 -90 -100 -60 0 80 80
Jumlah	40	-	-

Kita ambil untuk rata-rata sementara (x_s) = titik tengah kelas modus yaitu 75,5. (nilai tengah lain-lainnya juga boleh dipakai tetapi lebih baik jika memakai titik tengah kelas modus) 

x¯¯¯ = x_s + [Σ(fi.di)]/Σf = 75,5 + [-290/40] = 75,5 - 7,25 

   = 68,25

6 Modus, Median, Kuartil, Desil, dan Persentil

1)      Modus

Untuk menyatakan kejadian yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat digunakan istilah modus (disingkat m_o). Ukuran ini juga dipakai untuk menentukan rata-rata data kualitatif, misalnya kita dengan kebanyakan kematian di Indonesia disebabkan oleh penyakit malaria, pada umumnya kecelakaan lalu lintas disebabkan kecerobohan pengemudi, maka tidak lain masing-masing itu merupakan modus penyebab kematian dan kecelakaan lalu lintas.

Untuk data kuantitatif berikut 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9

Modusnya adalah 6, karena frekuensi nilai 6 yang paling banyak di antara yang lain (f₍₆₎=3, f₍₄₎=2, f₍₃₎= f₍₅₎= f₍₇₎= f₍₈₎= f₍₉₎=1)

Kelompok data tersebut dinamakan data yang uni modal, yaitu yang bermodus tunggal. Jika ada dua data berfrekuensi tinggi disebut bi modalmisalnya 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9 modusnya ada dua, yaitu 4 dan 6.

Jika modusnya lebih dari dua disebut multi modal (bermodus banyak), jika frekuensi dari setiap datanya sama dikatakan tidak mempunyai modus. Misalnya 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 (setiap frekuensinya sama, yaitu 2)

 Untuk data kuantitatif yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, modusnya ditentukan dengan rumus    M_o = t_b+ [L₁/(L₂+L₂)].p

M_o       = modus

t_b         = tepi bawah kelas modus

P         = panjang kelas

L₁          = frekuensi kelas modus – frekuensi kelas sebelumnya

L₂          = frekuensi kelas modus – frekuensi kelas sesudahnya

Contoh 1.20

Perhatikan kembali daftar nilai berikut :

Nilai	fi	xi
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	5 3 5 6 9 8 4	35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5
	40

Kelas modus adalah kelas ke-5 yaitu 71-80 (karena frekuensinya terbanyak yaitu 9)

p = 40,5 – 30,5 = 10

t_b= 70,5,  f_mo = 9

f_a = 6,  f_b  = 8

maka    L₁ = f_mo – f_a = 9 – 6 = 3

            L₂ = f_mo – f_b = 9 – 8 = 1

            L₁ + L₂ = 3+1 = 4

m_o = t_b+ + [L1/(L2+L2)].p = 78,0 

2)   Median dan Kuartil-kuartil

Cara menentukan median dan kuartil-kuartil pada pasal A.3 sangat sesuai untuk kumpulan data berukuran kecil. Jika kumpulan datanya berukuran besar maka nilai ketiga kuartil dapat ditentukan dengan memakai rumus: 

Q₁= x _1/4(n+1) 

Q₂= x _1/2(n+1) 

Q₃= x _3/4(n+1) 

Contoh 1.21

Jika data sebagai berikut 20, 21, 22, 24, 26, 27, 30, 31, 31, 33, 35, 35, 35, 36, 37, 37, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50 (n=30)

Maka Q₁ = x_1/4(30+1) = x_7,75 = x₇ + 0,75(x₈ - x₇) = 27 + 0,75(30-27) 

= 27 + 2,3 = 29,3 

Q₂ = x_1/2(30+1) = x_15,5 = x₁₅ + 0,5(x₁₆ - x₁₅) = 36 + 0,5(37-36) 

= 36 + 0,5 = 36,5 

Q₃ = x_3/4(30+1) = x_23,25 = x₂₃ + 0,25(x₂₄ - x₂₃) = 42 + 0,25(43-42) 

= 42,25

Kuartil dari data tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, ditentukan oleh

Q1=(tb)Q1 + [((1/4).n - F1)/fQ1].p

Q2= (tb)Q2 + [((1/2).n - F2)/fQ2].p

Q3= (tb)Q3 + [((3/4).n - F3)/fQ3].p

(tb)Q1= tepi bawah kelas Q

n    = jumlah seluruh ukuran

F1  = frekuensi kumulatif (jumlah frekuensi)  sebelum kelas Q1

fQ1= frekuensi kelas Q1

p    = panjang kelas

F2  = frekuensi kumulatif sebelum kelas Q2

F3   = frekuensi kumulatif sebelum kelas Q3

Contoh 1.22

Lihat kembali daftar sebelumnya

Kelas Q1 Kelas Q2 Kelas Q3	Nilai	fi	Frek. Kumulatif
	31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	5 3 5 6 9 8 4	5 8 13 19 28 36 40
		40

Kelas Q₁ adalah kelas ke-3 : 51-60 (frek. Kumulatif kelas sebelumnya= 8, untuk Q₁ diperlukan frekuensi  1/4 x 40 = 10 ; (t_b)Q₁= 50,5

Kelas Q₂ adalah kelas sebelumnya= 19, untuk Q₂ diperlukan frekuensi  1/2 x 40 = 20) ; (t_b)Q₁= 70,5

Kelas Q₃ adalah kelas ke-6 : 81 – 90 (frek. Kumulatif kelas sebelumnya= 28, untuk Q₃ diperlukan frekuensi 3/4 x 40= 30) ; (t_b)Q₁= 80,5 ; p= 10

Menentukan kuartil-kuartil

Q₁ = 50,5 + [(10-8)/5].10 = 54,5 

Q₂ = 70,5 + [(20-19)/9].10 = 71,6 

Q₃ = 80,5 + [(30-28)/8].10 = 83,0 

Dari hasil terdahulu terdapat: 

x¯¯¯ = 68,25,  mo = 78,0,  Q2 = 71,6 

x¯¯¯ - mo = 68,25 - 78,0 = -9,75 

x¯¯¯ - Q2 = 68,25 -71,6 = -3,35 

Maka: untuk fenomena dengan kurva halus positif atau negatif, hubungan berikut dapat diandalkan.

Rata-rata – M_o= 3 (Rata-rata – M_e)

3)   Desil

Jika kumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat 9 pembagian dan tiap pembagian itu dinamakan desil.

                Ꞌ         Ꞌ         Ꞌ         Ꞌ         Ꞌ         Ꞌ         Ꞌ         Ꞌ         Ꞌ       

               D₁       D₂       D₃       D₄       D₅       D₆      D₇       D₈       D₉

Terdapat 9 buah desil, yaitu desil pertama, desil kedua, desil ketiga, ..., desil kesembilan. 

Letak desil ditentukan oleh rumus: 

Letak (D_i)= data ke i/10.(n+1) atau D_i = [xi.(n+1)]/10

i= 1, 2, 3, ... 9, dan n= banyaknya ukuran

Contoh 1.23

32, 34, 35, 36, 38, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 56 (n=13)

D₁= data ke [1(13+1)]/10 = data ke 1,4 = x1 + 0,4(x2-x1) 

= 32 + 0,4(34-32) = 32,8 

D5 = data ke [5(13+1)]/10 = data ke 7 = x7. Jadi D7 = 39

Untuk data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi: 

Nilai Di = (tb)Di + [((i/10).n - Fi)/fi].p

Dengan i= 1, 2, 3 ... 9 

(tb)Di = tepi bawah kelas D_i

F_i = frekuensi komulatif kelas D_i

f_i = frekuensi kelas D_i

Contoh 1.24

Nilai	fi	Frek. Kumulatif
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	5 3 5 6 9 8 4	5 8 13 19 28 36 40
	40

Lihat daftar pada C.3 (b) di samping

Jika diminta D₃ (desil ke tiga), maka dari n= 40 diperlukan 30% x 40= 12 datum D₃ terletak di kelas ke-2 : 41 – 50 

D3 = 40,5 + [(12-8)/5].10 = 40,5 + 8  

= 48,5 

4)      Persentil

Bila sekumpulan data dibagi atas 100 bagian yang sama, maka terdapat 99 pembatas yang disebut persentil (P₁, P₂, P₃,... P₉₉)

Letak P_i = data ke i.(n+1)/100, dengan i= 1, 2, 3, ....99

Sedangkan untuk data tersusun dalam daftar distribusi frekuensi dapat digunakan rumus berikut.

 Pi = (tb)Pi + [((i/100).n - Fi)/fi].p

(tb)Pi = tepi bawah kelas P_i

F_i = frekuensi komulatif kelas P_i

f_i = frekuensi kelas P_i

P = panjang kelas  n= banyaknya ukuran

7 Ukuran Penyebaran

1)      Simpangan rata-rata

Simpangan rata-rata (SR) dari sekumpulan data kuantitatif x_1, x_2, x_3,.... x_n adalah

SR =Σ (i=1-n)[abs(xi-x¯¯¯)/n] 

x¯¯¯ = rata-rata hitung

n = banyaknya ukuran

Untuk data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi.

SR = Σ (i=1-k)[abs(xi-x¯¯¯).Σfi/] 

xi= titik tengah kelas U

Contoh 1.25

Dari data bilangan 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, tentukan simpangan rata-ratanya

Penyelesaian

Rata-rata

x¯¯¯ = 6,6 

SR = 1,4

2) Simpangan baku (Deviasi Standar)

Dari sekumpulan data kuantitatif x_1, x_2, x_3,.... x_n, simpangan bakunya (s) adalah

s = sqrt[Σ (i=1-n)[(xi-x¯¯¯²)/n] 

Untuk data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka

(I)   atau

(II)

atau

(III),

d_i = simpangan, d_i = (xi - x¯¯¯)/n 

Contoh 1.26

Dari data 6, 8, 7, 9, 10, hitunglah simpangan bakunya ! 

Penyelesaian

x¯¯¯ = 8. 

s = 

   = 2√

Contoh 1.27

Nilai	Frekuensi
50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84	4 8 14 35 27 9 3
	100

Tentukanlah simpangan baku dari data tersusun di atas ! 

Penyelesaian

Kita gunakan ketiga rumus diatas untuk membandingkan rumus mana yang paling praktis untuk dipakai. 

Rata-rata hitung x¯¯¯ = 67,6 ; 

1. s = 6,5 

2. s = 6,5 

3. s = 6,5 

Ternyata hasil perhitungan dengan memakai ketiga rumus itu adalah sama, tetapi kita dapat melihat bahwa dengan menggunakan rumus 3 pertimbangannya jauh lebih sederhana dan cepat. 

3)        Ragam (Variasi)

Dari suatu populasi x_1, x_2, x_3,.... x_N (N cukup besar), yang dimaksud ragamnya ialah

Hal ini berarti ragam sama dengan kuadrat dari simpangan baku. 

Jika kumpulan data sebanyak N buah itu, diambil sampul sebanyak n buah sehingga terdapat x_1, x_2, x_3,.... x_n, makakumpulan data ini disebut contoh (sampul) berkurang n.

Jika rata-rata hitung dari sampel ini (r_s), maka ragamnya (s²) adalah: 

Perhatikan bahwa pembagi pada ragam sampel adalah (n-1) sedangkan pada ragam populasi adalah N.

Contoh 1.28

Misalkan 30 orang siswa di suatu kelas diukur berat badannya, hasilnya sebagai berikut

42   43  45  47   48   49   50   51   52   54   42   44   45   47   48

42  44  46   48   48   49   51   52   53   55   49   50   51   52   55

Rata-rata populasi tersebut adalah: 

x¯¯¯ =

= 48,4 

Ragam populasinya = 

= 7,68 

4)   Angka Baku dan Koefisien Keragaman

Dari sampel berukuran n dengan data x_1, x_2, x_3,.... x_n rata-ratanya , simpangan baku (s), maka penyimpangan dari rata-rata dinyatakan dalam satuan baku adalah: 

i= 1, 2, 3, ...., n

Angka yang didapat dinamakan angka z

Variabel z_1, z_2, z_{3, ....} z_n ternyata mempunyai rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1 (silahkan periksa)

Dalam penggunaannya, angka z ini sering diubah menjadi keadaan baru atau tepatnya distribusi baru, yang mempunyai rata-rata x_o dan simpangan baku s_o yang ditentukan. Angka yang diperoleh dengan cara ini dinamakan angka baku atau angka standar dengan rumus: 

Jika x¯¯¯₀ = 0 dan s_o= 1 maka zi = (xi - x¯¯¯)/s, maka angka z ini menjadi angka baku. 

Angka baku dipakai untuk membandingkan keadaan distribusi sesuatu hal.

Contoh 1.29

Seorang siswa mendapat nilai tes sub sumatif 75 pada mata pelajaran metematika unit geometri, dimana pada ulangan-ulangan harian rata-rata nilainya 68 dan simpangan baku 10. Untuk unit trigonometri ia mendapat nilai tes sub sumatif 85, dimana rata-rata ulangan hariannya 70 dan simpangan baku 18.

Dalam unit manakah ia mencapai kedudukan yang lebih baik?

Penyelesaian

Untuk geometri: z = (75-68)/10 = 0,7, dan trigonometri: z = (85-70)/18 = 0,83 

Angka baku nilai trigonometri lebih besar dari angka baku nila geometri, berarti kedudukan nilai trigonometri lebih baik dari pada nilai geometri.

Jika nilai-nilai di atas diubah ke dalam angka baku dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 20, maka

Untuk geometri, z = 100 + 20[(75-68)/10] = 114,0 

Untuk trigonometri, z = 100 + 20[985-70)/18] = 116,6 

5)   Koefisien Variasi (koefisien keragaman)

KV = (simp. baku / rata-rata) x 100% 

KV= koefisien keragaman

Koefisien variasi dapat dipakai untuk membandingkan variasi relatif beberapa kumpulan data dengan satuan yang berbeda, sebab tidak tergantung kepada satuan yang digunakan.

Contoh 1.30

Lampu merek A dapat dipakai selama 3500 jam dengan simpangan baku 1050 jam. Lampu lain merek B dapat dipakai rata-rata 10.000 jam dengan simpangan baku 2000 jam, maka: 

KV lampu A = (1050/3500)x100% = 30%, 

dan KV lampu B = (2000/10000)x100% = 20% 

Ternyata lampu B secara relatif mempunyai masa pakai yang lebih uniform.

6)   Moment, kemiringan dan kurtosis

1. Moment

Rata-rata dan variasi sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran lain yang disebut moment.

Dari moment ini pula beberapa ukuran lain dapat diturunkan. Dari ukuran-ukuran: x_1, x_2, x_3,.... x_n, dan A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,......, maka moment ke-r sekitar A disingkat m'_r, didefinisikan oleh hubungan: 

m'_r = 

untuk A= 0 didapat moment ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r

Moment ke – r=

Untuk r = 1 maka moment ke-1 =  = nilai rata-rata

Jika A =  kita peroleh moment ke-rata-rata, bisa disingkat dengan m_r

m_r =

untuk r = 2, maka m₂ =  adalah variasi.

Untuk data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi

m'_r =  ;  Moment ke – r  ;    m_r =

1. Kemiringan

Dari model kurva distribusi frekuensi, kita mengenal beberapa kurva

Gambar2.1.12a

(a) Kurva Positif

Kurva model positif, bila kurva itu mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah kanan

Gambar2.1.12b

(b) Kurva Negatif

Kurva model negatif, jika ekornya memanjang ke sebelah kiri

Gambar2.1.12c

(c) Kurva Simetris

Kurva model simetris, jika bentuk kiri kanan sama (simetris)

Untuk mengetahui derajat taksimetris sebuah model digunakan ukuran kemiringan yang ditentukan. 

Kemiringan = (rata-rata - modus)/simpangan baku

Yang dinamakan koefisien kemiringan pearson pertama.

Oleh karena pada umumnya terdapat hubungan antara rata-rata, median, dan modus sebagai berikut:

Rata-rata – modus = 3 (Rata-rata – median), maka

Kemiringan = 3(rata-rata - modus)/simpangan baku 

yang disebut Koefisien kemiringan  pearson macam kedua.

Kita katakan model positif jika kemiringan positif, model negatif jika kemiringan negatif dan simetris jika kemiringan = 0

Contoh 1.31

Hasil ujian 40 siswa pada contoh pasal C.(b) terdapat

x¯¯¯ = 68,25,   M_e= 71,6,   M_o= 78,0 dan simpangan baku s = 8,45

Maka kemiringan  = (68,25-78,0)/8,45 = -1,15 

atau kemiringan = 3(68,25-71,6)/8,45 = -1,9 

karena kemiringan negatif, berarti kurvanya model negatif, seperti terlihat pada gambar 2.1.13. 

Gambar 2.1.13

Kurva Model Negatif

 

• iii  Kurtosis

Dengan bertitik tolak dari kurva model normal atau distribusi normal, tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva dapat ditentukan. Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu runcing atau tidak terlalu datar dinamakan mesokurtis.

Kurva yang miring dinamakan leptokurtis sedangkan yang datar disebut platikurtis.

Gambar 2.1.14

Kurtosis

  

  (a) leptokurtis(b) platikurtis (c) mesokurtis

Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis yang diberi simbol a₄ ditentukan oleh hubungan: 

 a4 = m₄/m₂², dimana m₄ dan m₂ didapat dari rumus: 

m_r =  (momen ke-r sekitar rata-rata)

kriteria yang didapat adalah

a)      a₄=3à → distribusi normal (mesokurtis). 

b)      a₄>3à → distribusi leptokurtis. 

c)      a₄<3 distribusi="" nbsp="" p="" platikurtis.="">

Tag : Guru Pembelajar