Menyelesaikan Masalah Permutasi

Wednesday, October 26, 2016

Kembali lagi bersama saya di blog tetamatika, tetamatika memberikan berbagai administrasi guru, materi ajar, media pembelajaran yang berkaitan dengan pelajaran matematika. Akan tetapi kali ini saya akan membahas tentang Menyelesaikan Masalah Permutasi yang saya dapatkan saat mengikuti guru pembelajar.

1 Permutasi

Kegiatan kali ini Anda akan mempelajari Permutasi. Apakah permutasi itu? Coba perhatikan pada peristiwa pemilihan pengurus kelas ini.

Dalam suatu kelas,terdapat 4 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misal, keempat orang kandidat itu adalah A, B, C, dan D. Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, dan posisi bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 4 orang kandidat adalah 4 × 3 × 2 = 24 cara. Uraian tersebut akan lebih jelas apabila Anda mengamati skema berikut.

@Ingatlah : Urutan ABC berbeda dengan urutan ACB. Dalam urutan ABC, sekretaris adalah B. Dalam urutan ACB, sekretaris adalah C.

Dari skema tersebut diperoleh 24 susunan 3 unsur,yaitu:

ABC ABD ACB ACD ADB ADC

BAC BAD BCA BCD BDA BCD

CAB CAD CBA CBD CDA CDB

DAB DAC DBA DBC DCA DCB

Tampak susunan 3 unsur tersebut memperhatikan urutannya. ABC adalah suatu permutasi, ACB juga suatu permutasi dan keduanya berbeda. Urutan pada 24 susunan itu berlainan. Susunan yang memperhatikan urutannya disebut permutasi. Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga pengertian permutasi? Cobalah nyatakan pengertian permutasi dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.

Perhatikan contoh ini : Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur adalah

4 × 3 × 2 = 24.

Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur dapat ditulis :

(P(4,3) = 4x3x2 =

Pernyataan diatas diartikan : Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur. Hal ini dapat dijelaskan dengan tabel permutasi:

@Ingatlah : Notasi P(n, k) dapat juga ditulis dengan

Dari lembar kerja yang Anda kerjakan, pelajarilah jika r = n dan apa yang anda katakan jika n > r. Dapatkah Anda memperoleh :

Untuk r = n, diperoleh :

P(n, n) = n (n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))(n – r)…(3)(2)(1) = n!

Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalamk unsur

Adalah :

, dengan k £ n

Perhatikan contoh di bawah ini :

Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi.

Jawab :

P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak wiraniaga terpilih).

1 Permutasi

1.1 Permutasi Beberapa Unsur yang Sama

Kali ini Anda akan mempelajari permutasi dengan unsur yang sama. Pahamkah Anda maksudnya? Untuk itu perhatikan ilustrasi ini: Pada kata "BUKU" terdapat dua huruf yang sama, yaitu U. Permutasi huruf-huruf pada kata "BUKU" dapat Anda amati pada gambar diagram pohon di bawah ini : (Gambar 2.2.5)

Coba Anda perhatikan pada diagram pohon untuk huruf-huruf: U, K dan U. Jika benar mengamatinyanya, hasil dari seluruh diagram pohon tersebut adalah sebagai berikut

1. BUKU 6. BUUK 11. UBUK 16. KBUU 21. UUBK

2. BUUK 7. UKBU 12. UBKU 17. KUUB 22. UUKB

3. BKUU 8. UKUB 13. KUBU 18. KUBU 23. UKBU

4. BKUU 9. UUBK 14. KUUB 19. UBUK 24. UKUB

5. BUKU 10. UUKB 15. KBUU 20. UBKU

Amatilah 24 susunan huruf tersebut. Tampak ada beberapa susunan huruf yang sama! Coba sebutkan susunan huruf yang dimaksud? sehingga permutasinya menjadi:

1. BUKU 4. UKBU 7. UUKB 10. KUBU

2. BUUK 5. UKUB 8. UBUK 11. KUUB

3. BKUU 6. UUBK 9. UBKU 12. KBUU

Banyak permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU” adalah 12 atau

Permutasi yang telah Anda pelajari, mensyaratkan bahwa masing–masing dari n unsur berbeda atau tidak sama. Yang telah Anda pelajari adalah jika n unsur yang tersedia memuat beberapa unsur yang sama. Bagaimana dengan permutasi yang memuat unsur yang berbeda?

Untuk menjawab pertanyaan itu, berlatih lebih banyak akan lebih paham, simaklah contoh soal di bawah ini

Contoh :

Berapa banyak permutasi 3 huruf yang diambil dari huruf–huruf C, P dan P?

Jawab:

Unsur yang tersedia ada 3, yaitu huruf C, P, dan P. Dari 3 unsur yang tersedia terdapat 2 unsur yang sama yaitu P Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama adalah:

Dari hasil yang Anda pelajari dapat disimpulkan bahwa : Banyak permutasinya ada 3 macam, yaitu CPP, PCP dan PPC. Secara umum dapat disimpulkan:

1.2 Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda

Anda telah mempelajari aturan pengisian tempat atau aturan perkalian. Untuk mengingat kembali, simaklah permasalahan berikut ini. Misalkan dari tiga huruf a, b, dan c akan disusun suatu kata yang terdiri atas 3 angka dengan kata–kata itu tidak mempunyai huruf yang sama. Susunan yang dibentuk adalah :abc acb bac bca cab cba.

Banyak cara untuk membuat susunan diatas adalah 3 x 2 x 1 = 6 cara.Susunan yang diperoleh diatas disebut permutasi 3 unsur yag diambil dari 3 unsur yang tersedia. Apabila tiga huruf diatas akan disusun kata yang terdiri dari dua huruf dengan kata–kata tersebut tidak mempunyai huruf yang sama, maka susunan yang terbentuk adalah: ab ac ba bc ca cb.

Banyak cara untuk membuat susunan diatas adalah 3 x 2 = 6 cara.

Susunan yang diperoleh diatas disebut permutasi 2 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia.

Berdasarkan uraian diatas, dapat disimpulkan bahwa:

Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan (r <n).

@Ingatlah : Banyak permutasi dilambangkan dengan notasi.

@Ingatlah : Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai l₁ unsur jenis pertama, l₂ unsur jenis kedua, l₃ unsur jenis ketiga, dan l_k unsur jenis ke-k yang sama adalah

1.3 Permutasi Siklik (Siklis)

Pernahkah Anda makan malam bersama di restoran atau mengadakan pertemuan dalam satu meja? Misalkan pada saat masuk restoran ternyata satu meja digunakan untuk 3 orang. Bila meja berbentuk lingkaran, maka bagaimana cara Anda mengatur tempat duduknya?

Perhatikan Gambar Permutasi Siklis (Gambar 2.2.6) berikut ini!

Tempat duduk untuk tiga orang dapat diatur sebagai berikut. Terlihat pada Gambar 2.2.6a bahwa posisi Anak berada di sebelah kanan tempat duduk Ayah dan Ibu di sebelah kirinya. Sedangkan pada Gambar 2.2.6b, posisi tempat duduk Anak berada di sebelah kiri Ayah dan tentunya tempat duduk Ibu di sebelah kanan Ayah. Dari gambar tersebut apa yang dapat Anda pahami?

Benar! Hanya ada dua susunan tempat duduk yang dapat ditempati, jadi Anda dapat mengatakan bahwa permutasi siklis (melingkar) dapat dibuat adalah :

P = (3-1) ! = 2! = 2

Untuk lebih memahami coba kerjakan lembar kerja berikut :

Perhatikan Gambar Siklis.

Dari gambar dapat Anda lihat empat siswa sedang melakukan kegiatan kerja kelompok, pada gambar yang lainnya adalah susunan tempat duduk kempat siswa, dimana siswa A sebagai titik acuan. Anda bisa membuat formasi lingkaran atau duduk melingkar yang lain dengan B, C atau D.

Hasil seluruh formasi lingkaran tersebut adalah sebagai berikut :

Banyak permutasi siklis dari n unsur ditentukan dengan: P = (n – 1)!

@Ingatlah : Permutasi Siklis P = (n – 1)!

Contoh soal

Dari 8 anggota Karang Taruna dimana Hanif, Nisa, dan Azzam ada di dalamnya, akan duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang terjadi, jika:

a. Semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih tempat duduk.

b. Hanif, Nisa, dan Azzam harus duduk berdampingan.

c. Hanif, Nisa, dan Azzam tidak boleh ketiganya duduk berdampingan.

Jawab :

a. Jika semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih, maka banyak susunan siklis= (8 – 1)! = 5.040.

b. Jika Hanif, Nisa, dan Azzam harus duduk berdampingan, maka mereka bertiga dianggap satu objek dalam susunan siklis. Jumlah objek dalam susunan siklis tinggal 6 objek, maka banyak susunan siklis= (6 – 1)! = 120. Namun Hanif, Nisa,dan Azzam dapat bertukar tempat sebanyak 3! = 6.

Jadi, susunan siklis dimana Hanif, Nisa, dan Azzam duduk berdampingan adalah : = 120 x 6 = 720.

c. Hanif, Nisa, dan Azzam tidak boleh bertiganya duduk berdampingan= 5.040 – 720 = 4.320.

Tag : Guru Pembelajar